60度の生成

正三角形の頂点はすべて60度であるが、 辺の長さが8:7:5の三角形において、 長さ7の辺の反対側の頂点も60度になる。 昔の開成中学の入試でこれを利用したものがあって驚いたことがあった。

このような性質をもつ整数の組を計算してみると以下のようになった。 どうやら無限に存在するらしい。

8 7 3
8 7 5
15 13 7
15 13 8
21 19 5
21 19 16
35 31 11
35 31 24
40 37 7
40 37 33
48 43 13
48 43 35
...

突然60度が必要になったとき、 長さが15, 13, 8の棒を持っていればあわてずにすむだろう。

ちなみにこの方法だとcosの値は有理数になるので正確に30度や45度を作ることはできない。辺の長さが82:71:41の三角形を使うと長さ41の辺の反対側が29.999998度になるようだが...